Chirurgie de Dehn et 4-variétés définies

Dans le domaine des structures abstraites étudiées en mathématiques fondamentales, mes recherches se concentrent sur la théorie des nœuds et les variétés de basses dimensions. Les variétés de toutes dimensions sont depuis longtemps des objets fondamentaux en mathématiques. Cependant, les propriétés d’une variété dépendent fortement de la dimension de la variété et les outils nécessaires pour étudier des questions en basses (c’est-à-dire moins que quatre) dimensions sont considérablement différents de ceux utilisés dans les dimensions supérieures. Mon travail vise principalement à travailler sur un nombre de questions en basses dimensions.

Le premier et le plus important axe de mes recherches est la chirurgie de Dehn. Un nœud est un cercle enchevêtré dans un espace tridimensionnel. On effectue une chirurgie de Dehn sur un nœud en l’agrandissant pour former un tube solide, en découpant ce tube et en le remplaçant par un nouveau tube solide. Malgré la simplicité de cette opération, il reste encore beaucoup d’inconnus sur la façon dont la chirurgie peut changer la topologie et la géométrie. J’étudierai des questions de la forme :
1. Quelles sont les variétés qui peuvent être obtenues par une chirurgie sur un nœud ?
2. Peut-on classer tous les nœuds qui produisent une 3-variété donnée par chirurgie?
On trouve des questions de ce type naturellement dans toute la topologie en basses dimensions et les résultats sur la chirurgie de Dehn ont souvent des applications dans d’autres domaines de la topologie de basse dimension comme la théorie classique des nœuds.

Deuxièmement, j’étudierai les relations entre la topologie d’une 4-variété et sa frontière. Un invariant important des 4-variétés est leur forme d’intersection, qui est un objet qui compte les points d’intersection entre les surfaces contenues dans la 4-variété. J’étudierai les questions relatives à la relation entre la forme d’intersection d’une 4-variété et la 3-variété sur sa frontière. En particulier, j’étudierai quand la forme d’intersection peut être définie, car c’est une condition qui apparaît naturellement dans de nombreuses applications. Pour cet axe de recherche, les principales applications seront à la théorie des singularités.